Le modèle dynamique de base – risque financier

LES Modèle Mathématiques Pour Gérer Le Risque Financier: “Un titre est un droit sur un processus de dividendes adapté, (D) par exemple, ou Dt est le dividende versé par le titre à la date t. chaque titre a un processus de prix adapté S, St étant le prix ex-dividende du titre à la date t .ainsi a chaque date t le titre paye un dividende St et se négocie alors au prix St. Cette convention implique que D0 ne joue aucun rôle dans la détermination des prix ex-dividende. Le prix cum-dividende” […]
La gestion du risque financier
CHAPITRE 4 : LES MODELES MATHEMATIQUES POUR GERER LE RISQUE FINANCIER
Section (2) : le modèle dynamique de base
1 – marchés de titres
[…]  dans la détermination des prix ex-dividende. Le prix cum-dividende du titre à la date t est St + Dt.
Supposons qu’il existe n titres définis par le processus de dividendes adapté à valeurs dans Rn :   D = (D1,………, Dn). Le processus des prix de ces titres est :
S = (S1,…, Sn). Une stratégie de portefeuille est un processus adapté P dans Rn

Pt = ( Pt1 , Pt2 , …., Ptn)

Il représente le portefeuille détenu après la conclusion des échanges à la date t. le processus de dividendes Dp généré par une stratégie de portefeuille P est définie par
Dtp =  [Pt-1 * (St + Dt)] – St* Dt
Avec  « p-1 =0 »par convention

2- arbitrage, prix contingents, et martingales
Etant donné un couple (D, S) pour N titres, une stratégie de portefeuille P est un arbitrage si Dp >0.
Il y absence d’opportunité d’arbitrage si et seulement si il existe un fonction linéaire strictement croissante F : L R, où L est l’espace des processus adaptés (processus des dividendes), telle que F (Dp ) = 0 pour toute stratégie de portefeuille P.
Le résultat suivant donne la représentation de RIEZ d’une fonction linéaire sur l’espace des processus adaptés. La démonstration de ce résultat, qui est une généralisation du LEMME de représentation de RIEZ dans un cadre unipériodique.
LEMME. Pou toute fonction linéaire F : L R il existe π unique appartenant à L, appelé représentation de riesz de F, tel que

T
F(x)  =  E (∑ πtxt), x  L.
t=0
Si F est strictement croissante π est strictement positif.
Tout processus adapté strictement positif est appelé déflateur. Un déflateur π est un  déflateur-prix contingent si, pour tout t,
1            T
St  =     πt        Et (∑ πj Dp)
J=t+1

3-optimalité individuelle

Un agent est défini par une fonction d’utilité U strictement croissante sur l’ensemble L+ (l’ensemble des  « processus de consommation » adaptés et non négatifs), et par un processus de dotations e appartenant à L+.Etant donné (D,S), une stratégie de portefeuille  donne à un agent un processus de consommation total  e+D. Cet agent a donc comme ensemble de consommations possibles
X = (e+D  L + :   Q)
Avec  Q : l’espace des stratégie de portefeuille pour toutes les stratégies et ∂.
Le problème que doit résoudre un agent, c’est la maximisation de sa fonction d’utilité sur l’ensemble des consommations possibles :
MaxcX U(c)

4- équilibre et Pareto- optimalité

Supposons qu’il existe M agents : l’agent i est définie, comme ci-dessus, par une fonction d’utilité strictement croissante Ui : L + R et un processus de dotation ei  L +. Un équilibre est un m-uple (1,………, m, S), ou S est un processus des prix des actifs et, pour tout i, i  est un stratégie de portefeuille solution de :

Max Ui (c)
s. c.  C = ei +  D    L +.
Les marchés sont complets si pour chaque processus x appartenant à L il existe une stratégie de portefeuille  telle que D= Xt.
L’optimalité au sens de Pareto étant définie de la même manière que l’optimalité individuelle.

5- Evaluation des actifs à l’équilibre
Nous définissons pour  appartenant à IR+m  la fonction d’utilité U : → IR par

m
U (x)  =    max     ∑ i Ui (ci)    s.c.   c1+…+cm    x
(c1,….,cm)   i =1
Elle est basée sur le fait que, lorsque les marchés sont complets, un déflateur-prix contingent est un vecteur de multiplicateurs de Lagrange associés chacun à la consommation d’un agent et à celle de l’agent représentatif, représente par (U, e) dans un état du monde et à une date donnés.

6- arbitrage et mesures marginales équivalentes
Cette section montre que l’absence d’opportunité d’arbitrage est équivalente à l’existence d’une probabilité Q sous laquelle les processus de gain actualisés sont les martingales.
Il existe à une date donnée t < T un emprunt sans risque à court terme s’il existe une stratégie telle que :

(i)    Ds   =0 pour  s < t
(ii)    Dt+1            = 1, et
T+1
(iii)    Ds   =0 pour   s >  t+1

Le facteur d’actualisation à la date t est défini par :
dt = -Dt
Supposons dans cette section qu’il existe, à chaque date t < T, un emprunt sans risque tel que la facteur d’actualisation correspondant dt est strictement positif. La valeur de remboursement d’un emprunt sans risque d’un montant égal à une unité de compte. Renouvelé de période en période entre deux dates                      t et  ≥ t quelconques. Est égal à :
Rt ,  =   (dt dt+1…..dT+1)-1

Les choses seraient simples, aussi bien d’un point de vue conceptuel que technique, si le prix d’un titre était égal tout simplement à la somme de ses dividendes futurs actualisés.  Bien sur, ceci a peu de chances d’être le cas lorsque les investisseurs ont une aversion pour le risque. Il est cependant possible d’arriver à une solution de ce type pour les prix des actifs en modifiant la probabilité originelle P. une probabilité Q est équivalente à P si Q et P attribuent une probabilité nulle aux mêmes évènements.

7- évaluation des titres redondants
Supposons que le couple processus des dividendes-processus des prix (D, s) vérifie l’absence d’opportunité d’arbitrage et qu’il existe par conséquent un déflateur-prix contingent π. Introduisons maintenant un nouveau titre dont le processus de dividendes est D´ t dont le processus de prix est S´.D´ faisant appel uniquement aux titres originaux qui réplique D´, c’est à dire telle que   Dt  =  Dt´ pour t ≥ 1. L’absence d’opportunité  d’arbitrage implique

1            T
St´ =  Vt  =            Et  (∑   πt D´j),  t  <  T.
πt          j= t +1

si ce n’était pas le cas, il serait possible d’effectuer un arbitrage en procédant de la manière suivante. Soit le temps d’arrêt    =  min {t : S´t   > Vt}. Considérons la stratégie consistant à
(a)    vendre le titre contingent D´ à l’instant   pour S´ , et à conserver cette position jusqu’à la date T.
(b)    investir  .S à la date  dans la stratégie de duplication  jusqu’à la date T.
Il est souvent supposé, dans les applications de cette théorie, que les marchés sont complets pour le couple processus des dividendes-processus des prix (D,S). Dans ce cas, tout titre supplémentaire est redondant.
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D’après  « modèles dynamiques d’évaluation » .de  DARREL DUFFIE, édition 2001, p 185



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