Modèles mathématiques pr la gestion du risque financier
1- Mise en évidence de la relation entre i et V0
Il ressort que le prix de l’obligation est d’autant plus bas que les taux d’intérêt sur le marché sont élevés. Lorsque le taux de marché est juste égal au taux de coupon (i = c) le prix du titre est juste égal à sa valeur nominale.
On dit qu’il y a parité. (On notera qu’il s’agit ici d’un prix « pied de coupon »).
«Le prix d’un actif à taux de coupon fixe est d’autant plus élevé que les taux d’intérêt sont bas sur le marché.»
2- Expression du phénomène de sensibilité
On peut calculer simplement le ratio (variation observée du prix de l’actif / variation du taux d’intérêt). Cette expression, proche de la « dérivée » du prix par rapport au taux, offre une première possibilité de mesure.
«La sensibilité peut s’exprimer comme la variation du cours du titre, En fonction de la variation de 1 point de base. On parle ici de « valeur Du point de base ». «
En fin, on peut mesurer la sensibilité à travers d’autres « ratios », en exprimant le numérateur à l’aide d’un pourcentage de variation du prix.
B- Sensibilité et durée de vie
Mesurer la sensibilité d’un titre obligataire aux variations du taux d’intérêt est une opération essentielle pour toute gestion sérieuse en la matière.
Il s’agit là, ni plus ni moins, de l’estimation du « risque » du titre, ou du portefeuille de titres concernés. On notera au passage la similitude avec la mesure des titres à revenu variable (action).
Pour ces derniers, pourvu qu’ils soient inclus dans un portefeuille, le risque est défini comme une sensibilité au marché des actions (coefficient bêta) avec les titres obligataires, on recourt aussi à une sensibilité.
C’est une sensibilité au marché des taux d’intérêt.
1- La maturité
On peut certes, dans une première démarche, compter purement et simplement le temps à courir entre aujourd’hui et le dernier flux de remboursement du titre.
Il s’agit là de la « maturité », concept déjà aperçu au moment ou on dégageait le concept de « rendement à maturité ». La maturité se définie en effet comme le temps à courir jusqu’au dernier flux.
2- La durée de vie moyenne
Une deuxième approche consiste à calculer la durée de vie moyenne. Il s’agit
Ici de la somme des durées pondérées par les flux de remboursement, puis divisée par le nominal.
«Durée de vie moyenne = ∑ amortissement * durée / valeur nominal»
La durée de vie moyenne constitue un progrès. Elle reste pourtant entachée de deux défauts qui la condamnent. D’une part, elle laisse de coté les flux d’intérêt, en ne s’intéressant qu’aux flux d’amortissement. D’autre part, elle « oublie » d’actualiser les flux qu’elle additionne.
3- La « duration »
Une troisième méthode tient compte de ces objections et offre, du même coup, la seule mesure véritablement correcte. Il s’agit de la « duration ». Derrière ce vocable quelque peu « barbare » se cache la durée de vie moyenne de tous les flux (F) actualisés au taux du marché.
Cette formule est la somme des produits flux par durées actualisés, par la somme des flux actualisés au taux du marché, la « duration » n’est pas constante. Elle est fonction du taux du marché lui-même.
Duration : somme des produits par durées actualisés, sur la somme des flux actualisés.
Une application simple permet de donner une illustration du calcul de la « duration ».
Soit une obligation « in fine » c’est-à-dire (obligation placée long temps), d’une maturité de 5 ans, portant un taux de coupon de 10%. Le taux de marché est de 10%, la valeur nominale de 100 dirhams.
Source : stratégie pour la gestion du risque de taux, jean pierre DALOZ
Cela donne les résultats suivants :
Maturité : 5 ans
Duration : 4,17 ans
Avec un taux de marché de 11 %, la « duration » serait de 4,15 ans.
4- estimation a priori de la sensibilité
Il est possible de retenir, pour la sensibilité, l’expression suivante :
S = (1/V) * (d V / d i)
V : la valeur de marché de l’instrument
d V : la variation de la valeur de marché
d i : variation du taux d’intérêt
En « point de base », et si on dérive l’expression de la valeur du titre,
On reconnaît dans la deuxième partie du membre de droite l’expression de la « duration ».
Sensibilité = duration divisée par – (1+i)
5- Stratégies d’immunisation et phénomène de convexité
La stratégie d’immunisation est l’équivalent, en matière de portefeuille obligataire, de l’opération de diversification, caractéristique d’un portefeuille d’actions. Elle fait cependant moins souvent l’objet d’analyse que cette dernière.
Elle consiste de composer un portefeuille obligataire de telle manière que le risque (mesuré en tant que duration) soit minimisé, quelle que soit l’espérance de rendement.
Donc :
Duration d’un portefeuille obligataire = moyenne des durations des titres qui le composent.
Alors :
Immunisation = conserver un placement obligataire pour une période juste égal à celle de sa « duration », avec réinvestissement des intérêt au taux du marché
Il reste maintenant à étendre cette propriété à un portefeuille obligataire.
– Immunisation d’un portefeuille
La propriété d’additivité da la duration va permettre l’application du principe d’immunisation à un portefeuille d’obligations. Si l’investisseur accepte de fixer a priori la durée de vie de son placement, il suffit de combien un certain nombre d’obligation dans son portefeuille de manière que la duration moyenne de l’ensemble soit égal à la durée choisie.
Le portefeuille sera, du même coup, « immunisé en duration »du risque de taux. L’opération est, à la vérité un peu plus raffinée que cela. Il faut en effet, pour une immunisation donnée, assurer cependant le rendement le plus élevé.
Le problème se pose donc sous la forme d’une programmation linéaire, laquelle définira le portefeuille optimal, dans la double dimension : risque / rendement. L’écriture du programme est assez simple.
DU est le symbole pour « duration », Y le rendement à maturité de l’opération
d’investissement, M le nombre d’obligations entrant dans le portefeuille, chacune d’elle en proportion Wi.
M
(telle que ∑ Wi = 1), H : l’horizon prévu pour l’investissement :
i=1
Problème d’immunisation d’un portefeuille
M
Max Y portefeuille = ∑ Wi * Yi
i =1
Sous le contrainte :
M
DU portefeuille = ∑ Wi * DUi = H,
i = 1
Avec Wi >= 0
